Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{(3-2x)^{n+1}}{(n+1)^{2}\cdot 3^{n+1}}}{\dfrac{(3-2x)^n}{n^2\cdot 3^n}}\right| &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(|2x-3| \cdot \dfrac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\dfrac13\right)\\[15pt] &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(|2x-3|\cdot \left( \dfrac{1}{1+\frac1n}\right)^2\cdot\dfrac13\right)\\[15pt]&= |2x-3|\cdot \left(\frac{1}{1+0}\right)^2 \cdot\frac13\\[15pt]&= \frac13|2x-3|\\[15pt]&= \frac23\left|x-\frac32\right|\end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$\frac23\left|x-\frac32\right|<1$ ise, yani $$\left(-\frac32+\frac32,\frac32+\frac32\right) \ = \ (0,3)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$\frac23\left|x-\frac32\right|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,0\right)\bigcup\left(3,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$\frac23\left|x-\frac32\right|=1$ ise, yani $$x=0 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=3$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=0$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2>1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=3$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$$ toplamı olur.
Fikir:
Üstte gösterdiğimiz üzere bu toplam mutlak yakınsaktır.
Mutlak alma:
Terimlerin mutlakları toplamı ile ilgilenirsek bu toplam $$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsar.
Sonuç:
$\left.\left[0,3\right.\right]$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(3-2x)^n}{n^2\cdot 3^n}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.