Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\cfrac{\dfrac{(2x+1)^{n+1}}{(n+1)\cdot 5^{n+1}}}{\dfrac{(2x+1)^n}{n\cdot 5^n}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|2x+1|\cdot \dfrac{n}{n+1}\cdot \frac15\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|2x+1|\cdot \dfrac{1}{1+n^{-1}}\cdot \frac15\right)\\[15pt] &=\ |2x+1|\frac{1}{1+ 0}\cdot \frac15\\[15pt] &=\ \frac15|2x+1|\\[15pt] &=\ \frac25\left|x+\frac12\right| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$ \frac25\left|x+\frac12\right|<1$ ise $$x\in \left(-\frac52-\frac12,\frac52-\frac12\right)=\left(-3,2\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$ \frac25\left|x+\frac12\right|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-3\right)\bigcup\left(2,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$=1$ i \frac25\left|x+\frac12\right|se, yani $$x=-3 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=2$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=2$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı olur.
Toplamın ıraksaklığı:
$p$-seri testi gereği $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı, $p=1 \leq 1$ olduğundan, ıraksaktır.
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=-3$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$$ toplamı olur.
Fikir:
İşaret değiştiren ve limiti sıfır olan dizimiz aynı zamanda mutlak olarak azalan olduğundan almaşık toplam testi kullanabiliriz.
İç terim dizisini tanımlama:
$a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ olarak tanımlayalım.
İşaret değiştirme:
Her $n\ge 1$ tam sayısı için $$(-1)^na_n=(-1)^n\dfrac{(-1)^n}{n}=\dfrac{1}{n}>0$$ olduğundan $\{a_n\}$ dizisi almaşık bir dizidir.
(Mutlak) Limitin sıfır olması:
İç terimlerin mutlağının limitine bakarsak $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0$$ eşitliği sağlanır.
Mutlak olarak azalan olması:
$[1,\infty)$ üzerinde $f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ fonksiyonu ile ilgilenirsek $$f^\prime(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}<0$$ eşitsizliği bize $f$ fonksiyonunun ve dolayısıyla da $\{|a_n|\}$ dizisinin azalan olduğunu verir.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu koşullar sağlandığı için, almaşık toplam testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n}$$ toplamı yakınsak olur.
Sonuç:
$\left.\left[-3,2\right.\right)$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(2x+1)^n}{n\cdot 5^n}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.