Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay alttan $4$ ve üstten $6$ ile sınırlı,
- payda ise basit bir halde $4^n$.
- Toplamı terimi $6\cdot (1/4)^n$ olan yakınsak geometrik toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $0<4\le 5+(-1)^n\le 6$ eşitsizliği sağlanır ve $$0< \frac{5+(-1)^n}{4^n} \leq \frac{6}{4^n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac14\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{6}{4^n}=\sum_{n=1}^\infty 6\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{5+(-1)^n}{4^n}$$toplamı yakınsak olur.