Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- $0$ noktasında $x^{-1}\tan x$ limitinin $1$ olduğunu kullanarak
- bu toplamı terimleri $1/n$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.
Limit alma:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\tan\left(n^{-1}\right)}{n^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\tan\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}} &&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\tan t }{t} &&{\color{teal}{(t=x^{-1})}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \left(\dfrac{\sin t}{t}\cdot \dfrac1{\cos t}\right)\\[15pt] &= \ 1\cdot \frac1{\cos 0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\tan\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamı ıraksak olur.