Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
(Bu aşama bu soru için geçerli olmayacak.)
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(2(n+1)-1)!!}}{\dfrac{x^n}{(2n-1)!!}}\right| \ = \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|x|}{2n+1}\ = \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Bu limit değeri her $x$ için $<1$ olduğundan, verilen $$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{(2n-1)!!}$$ toplamı $(-\infty,\infty)$ aralığı üzerinde yakınsar.