Fikir ve analiz:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan bu toplama almaşık toplam testi uygulayacağız.
Almaşık olması:
Toplamın terimlerine $\{a_n\}$ diyelim.
Kare kök fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan her $n$ pozitif tam sayısı için $$(-1)^na_n=\sqrt{n+3}-\sqrt n>0$$ eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla toplamın terimleri almaşık biz dizidir.
Mutlak olarak azalan olması:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$\sqrt{n+3}-\sqrt n=\dfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt n}$$ eşitliği sağlanır.
Kare kök fonksiyonu pozitif değerli artan olduğundan ifadenin paydası da pozitif değerli artar ve dolayısıyla terimlerin mutlak dizisi azalır.
Limitin sıfır olması:
$$\lim_{n\to \infty}\left(\sqrt{n+3}-\sqrt n\right)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt n}=0$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(\sqrt{n+3}-\sqrt n\right)$$ toplamı almaşık toplam testi gereği yakınsar.