Fikir ve analiz:
- $x=2^4/3^3$ olacak şekilde
toplamımızın terimleri $x^n/n$ teriminin $2^3/3$ katı olur. - Bu terimi $x^{n-1}$ teriminin integrali ile elde edebiliriz.
Bilindik kuvvet toplamı:
$|x|<1$ için $$\dfrac1{1-x}=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}$$ eşitliği sağlanır.
İntegral alma:
$|x|<1$ için $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}n=\int_0^x\dfrac1{1-t}dt=\ln(1-t)\big|_{t=0}^{t=x}=\ln(1-x)$$ eşitliği sağlanır.
İstenen toplamın değeri:
$|2^4/3^3|=16/27<1$ olduğundan toplam $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2^{4n+3}}{n\cdot 3^{3n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2^3}{3}\dfrac{(2^4/3^3)^n}{n}=\dfrac{2^3}{3}\ln\left(1-\dfrac{2^4}{3^3}\right)=\dfrac{8}{3}\ln\left(\dfrac{11}{27}\right)$$ değerine eşit olur.