Fikir ve analiz:
- $x=5$ olacak şekilde
toplamımızın terimleri $x^n/n!$ olur. - Bu $e^x$ ile gelen kuvvet toplamının terimleridir.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}$$ eşitliği sağlanır.
İndis düzenlemesi:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=1+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!} \qquad \text{ yani } \qquad \sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=e^x-1$$ eşitliği sağlanır.
İstenen toplamın değeri:
$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{5^n}{n!}=e^{5}-1$$ değerine eşit olduğunu verir.