Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplamın terimi $1/n$ ile limitsel benzerlik gösteriyor ve
- aralarındaki oransal limit $1$ değerine sahiptir.
- Sonuca limit karşılaştırma testi ile varabiliriz.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n^{1+\frac1n}}}{n^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^{1+\frac1x}}}{x^{-1}}&&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\left(x^{\frac1x}\right)^{-1}\\[15pt] &\stackrel{*}{=} \ 1^{-1}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır. (Yıldızlı limit geçişinin ispatını aşağıda vereceğiz.)
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığısaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksar.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^{1+\frac1n}}$$ toplamı ıraksak olur.
Ara limitin hesabı:
Yukarıdaki limitin, ilk olarak, logaritmasını incelersek \begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\ln\left(x^{\frac1x}\right) \ &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln x}x\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]}\ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{-1}}{1}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}\\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliği sağlanır. $\exp$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olduğundan $$ \lim\limits_{x \to \infty} x^{\frac1x}= \lim\limits_{x \to \infty}\exp\left(\ln\left(x^{\frac1x}\right)\right)=\exp\left(\lim\limits_{x \to \infty}\ln\left(x^{\frac1x}\right)\right)=\exp(0)=1$$ eşitliği sağlanır.