$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• $\ln(n^{11}+1)$ ifadesi $11\ln n$ ile $12\ln n$ arasındadır. Hatta $$\ln(n^{11}+1) = \ln(n^{11}(1+n^{-11}))=11\ln n +\ln(1+n^{-11})$$ olarak yazılabilir. Bu da sonsuzda $11\ln n$ ile benzer olduğunu gösterir. 
  (Bunu iki ifadenin türevlerini kıyaslayarak da görmek mümkündür.)
   
• Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da
  $\ln n$ ile $\sqrt n$ arasında bir eşitsizlik ve limitsel bir baskınlık mevcuttur. 
• Bu limitsel baskınlık ile bir köprü kurarak bir $p$-toplam bulabiliriz. 
• Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^{3/2}$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

---

---

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her $n\ge 2$ tam sayısı için $n^{11}+1\le n^{12}$ ve \begin{equation}\label{eq}0\le \frac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}\le \frac{\ln(n^{12})}{n^2}=12\cdot \frac{\ln n}{n^2}\end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.

Limit karşılaştırma testi için uygun limit bulma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{3/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12\cdot \frac{\ln n}{n^2}}{n^{-3/2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12\cdot \frac{\ln x}{x^2}}{x^{-3/2}}&&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12\ln x}{x^{1/2}}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]}  \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x^{-1}}{\frac12 x^{-1/2}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{24}{x^{1/2}}\\[15pt] &= \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 1:
$p=3/2>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsar.

Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 2:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty  12\cdot \frac{\ln n}{n^2}$$ toplamının yakınsak olur.

İstenen toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$$ toplamı yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• $\ln(n^{11}+1)$ ifadesi $11\ln n$ ile $12\ln n$ arasındadır. Hatta $$\ln(n^{11}+1) = \ln(n^{11}(1+n^{-11}))=11\ln n +\ln(1+n^{-11})$$ olarak yazılabilir. Bu da sonsuzda $11\ln n$ ile benzer olduğunu gösterir. 
  (Bunu iki ifadenin türevlerini kıyaslayarak da görmek mümkündür.)
   
• Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da
  $\ln n$ ile $\sqrt n$ arasında bir eşitsizlik ve limitsel bir baskınlık mevcuttur. 
• Bu limitsel baskınlık ile bir köprü kurarak bir $p$-toplam bulabiliriz. 
• Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^{3/2}$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

---

---

Limit karşılaştırma testi için uygun limit bulma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{3/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{\ln (n^{11}+1)}{n^2}}{n^{-3/2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\ln (x^{11}+1)}{x^2}}{x^{-3/2}}&&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln (x^{11}+1)}{x^{1/2}}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]}  \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{11x^{10}/(x^{11}+1)}{1/(2\sqrt x)}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{11x^{10.5}}{2(x^{11}+1)}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{11x^{-0.5}}{2(1+x^{-11})}\\[15pt] &=\ \frac{11\cdot 0}{2(1+0)}\\[15pt] &= \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3/2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsar.

İstenen toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$$ toplamı yakınsak olur.