Fikir:
Bu toplamın terim limitinin var olmadığından (mutlağının limiti $1$ olduğundan) sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Not:
İsterseniz tek $n$ değerleri için limitin $-1$e, çift $n$ değerleri için limitin $1$e gitiğini göstererek limit yoktur diyebilirsiniz. Bizim için sıfır olmadığını söylemek yeterli olduğundan bu çabaya girmeyeceğiz.
Terim mutlağının limiti:
Toplam içerisindeki terimin mutlağının limitine baktığımızda $$\lim\limits_{n\to \infty}\left|(-1)^n \cos\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right| \ = \ \lim\limits_{n\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{n!}\right) \ = \ \cos 0 \ = \ 1$$ eşitliği sağlanır.
Terim limiti:
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti $0$ ise mutlağının o noktadaki limiti de $0$ olur.
Üstte bulduğumuz sıfır olmayan limit gereği $$\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n \cos\left(\dfrac{1}{n!}\right)$$ limiti sıfıra eşit olamaz.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cos\left(\dfrac{1}{n!}\right)$$ toplamı ıraksar.