Fikir:
Kuvvet toplamları ile sonuca ulaşacağız.
Analiz:
- $x=1/e$ koyabileceğimiz şekilde
terimleri $n^2x^n$ olan kuvvet toplamını
fonksiyon olarak bulmaya çalışacağız.
- Bunun için terimleri $x^n$ olan geometrik toplamla, $1/(1-x)$, başlayıp
- türev ile terimleri $n x^{n-1}$ olan toplamı
- $x$ ile çarpıp terimleri $nx^n$ olan toplamı
- türev ile terimleri $n^2 x^{n-1}$ olan toplamı ve
- $x$ ile çarpıp terimleri $n^2x^n$ olan toplamı bulacağız
- ve $x=1/e$ için hesaplayıp sonuca ulaşacağız.
Başlangıç:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$$ eşitliği sağlanır.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
$\star\star\star$ Basit olarak: $\dfrac{1-(1-x)}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{1}{1-x}$ olarak görebiliriz.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}=\dfrac{1\cdot (1-x)^2-x\cdot(-2x(1-x))}{(1-x)^4}=\dfrac{1+x}{(1-x)^3}$$ eşitliği sağlanır.
$\star\star\star$ Basitten devam: Türev $\dfrac{2}{(1-x)^3}-\dfrac{1}{(1-x)^2}=\dfrac{1+x}{(1-x)^3}$ olur.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$ eşitliği sağlanır.
Değer hesaplama:
$|1/e|<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty n^2\left(\dfrac1e\right)^{n}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2}{e^n}=\dfrac{(1/e)\cdot(1+1/e) }{(1-1/e)^3}=\dfrac{e(e+1)}{(e-1)^3}$$eşitliği sağlanır.