Fikir ve analiz:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan bu toplama almaşık toplam testi uygulayacağız.
Almaşık olması:
Toplamın terimlerine $\{a_n\}$ diyelim.
Her $n\ge2$ pozitif tam sayısı için $$(-1)^na_n=\dfrac{1}{n\ln n}>0$$ eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla toplamın terimleri almaşık biz dizidir.
Mutlak olarak azalan olması:
$n\ge 2$ tam sayıları için $n$ ve $\ln n$ pozitif ve artan olduğundan $n\cdot \ln n$ de pozitif ve artan olur. Dolayısıyla $$\left\{\dfrac{1}{n\ln n}\right\}_{n\ge2}$$ azalan bir dizi olur.
Limitin sıfır olması:
Sonsuzda $n$ ve $\ln n$ sonsuza gittiğinden $$\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n\ln n}=0$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n\ln n}$$ toplamı almaşık toplam testi gereği yakınsar.