Fikir ve analiz:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan bu toplama almaşık toplam testi uygulayacağız.
Toplamın terimlerine $a_n$ diyelim.
Almaşık olması:
Her $n\ge 1$ tam sayısı için $$(-1)^na_n=\frac{n^3}{n^4+1}>0$$ eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla toplamın terimleri almaşık biz dizidir.
Mutlak olarak azalan olması:
$[2,\infty)$ üzerinde $f(x)=\dfrac{x^3}{x^4+1}$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\dfrac{3x^2\cdot (x^4+1)-x^3\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2}=-\dfrac{3x^2-x^6}{(x^4+1)^2}=-\dfrac{x^2(x^4-3)}{(x^4+1)^2}<0$$ eşitsizliğini sağlar.
Dolayısıyla $f$ fonksiyonu bu aralık üzerinde azalır ve $${\{|a_n|\}}_{n\ge 2}$$ azalan bir dizi olur.
Limitin sıfır olması:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{n^3}{n^4+1}=\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{x^4+1}=\lim_{x\to \infty} \frac{1/x}{1+x^{-4}}=\dfrac{0}{1+0}=0$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n n^3}{n^4+1}$$ toplamı almaşık toplam testi gereği yakınsar.