Analiz:
Toplamı bilindik bir toplam olarak yazabilmek için toplamı$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\cos\left(\frac1e\right)\right)^{-n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\cos\left(e^{-1}\right)}\right)^n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sec\left(e^{-1}\right)\right)^n$$ olarak düzenleyelim.
Bu yazım ile toplamın bir geometrik toplam olduğunu görebiliriz.
Toplamın ıraksaklığı:
$\sec(e^{-1})$ tanımlı olduğundan $|\sec(e^{-1})|\ge 1$ eşitsizliği sağlanır ve geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\cos\left(\frac1e\right)\right)^{-n}$$ toplamı ıraksak olur.
sec fonksiyonu hakkında:
$\cos$ fonksiyonu her gerçel sayı için tanımlıdır ve
görüntü kümesi $[-1,1]$ aralığıdır.
$\sec$ fonksiyonu $\cos x\ne 0$ olan her $x$ gerçel sayısı için tanımlıdır ve
görüntü kümesi $(-\infty,-1]$ ve $[1,\infty)$ aralıklarının birleşimidir.
Dolayısıyla $|\sec|$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[1,\infty)$ aralığıdır.